Dies ist ein Kapitel aus der Dissertation Mark Schweizer, Kognitive Täuschungen vor Gericht, Zürich 2005. Zur Hauptseite.

Anhang A: Herleitung des Bayes-Theorems aus den Axiomen der Wahrscheinlichkeitstheorie

1. In den folgenden Grafiken bezeichnet S den Ereignisraum, die Menge aller möglichen Ereignisse. Ein Ereignis ist eine Teilmenge von S.

2. Zwei Ereignisse A und B können in folgenden Kombinationen auftreten

• A  B (A oder B), d.h. es treten entweder A oder B oder beide zusammen auf (Gesamtmenge der beiden Ereignisse);

• A  B (A und B); d.h. es tritt sowohl A als auch B auf (Schnittmenge der bei­den Ereignisse). Wenn A und B sich gegenseitig ausschliessen, ist die Schnittmenge leer.

3. Weiter bedeutet

• ¬A Ausschluss des Ereignisses A und bezeichnet alle Ereignisse, die nicht A sind.

4. Grafisch lassen sich A  B, A  B und ¬A wie folgt darstellen:¹

5. Die klassischen Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie sind

1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hat einen Wert zwischen 0 und 1, wobei 0 bedeutet, dass das Ereignis nie eintritt und 1, dass es sicher eintritt.

2. Die Randwahrscheinlichkeit aller Ereignisse im Ereignisraum S ist 1.

3. Wenn zwei Ereignisse A und B sich gegenseitig ausschliessen gilt A  B = P(A) + P(B) und P(A  B) = 0. Dies gilt für alle n sich gegenseitig ausschliessender Ereig­nisse. Beispiel: Wenn ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 zur Nachmittagsvorle­sung gehe und mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 ins Seebad, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ich entweder zur Nachmittagsvorlesung oder ins Seebad gehe, 0,8. Die Wahrscheinlichkeit, dass ich sowohl ins Seebad als auch in die Nach­mittagsvorlesung gehe, ist 0.

6. Wenn sich die beiden Ereignisse A und B nicht gegenseitig ausschliessen, berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass entweder A oder B oder beide zusammen auftreten, nach der folgenden Regel:

A  B = P(A) + P(B) - A  B

7. Grafisch dargestellt:

   = + -

8. Durch die Addition von A und B wird der Bereich, wo sich A und B überschneiden, zwei Mal gezählt. Er muss daher wieder einmal subtrahiert werden.

9. Mit ganz ähnlichen Überlegungen lässt sich herleiten, wie die bedingte Wahrscheinlichkeit P(B | A), d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass B auftritt, wenn wir wissen, dass A vorliegt, aus den Wahrscheinlichkeiten P(A  B) und P(A) berechnet werden kann:

10. Wenn A und B sich gegenseitig ausschliessen, liegt die Antwort auf der Hand: B wird nicht eintreten. Wenn A und B sich nicht gegenseitig ausschliessen, ist es möglich, dass B eintritt. Da wir wissen, dass A eingetreten ist, reduziert sich der Ereignisraum S auf die Teilmenge A. Was uns interessiert sind die Ereignisse B, die innerhalb der Teilmenge A liegen, oder mit anderen Worten die Schnittmenge A  B. Die bedingte Wahrscheinlich­keit P(B | A) ergibt sich aus der Division von P(A  B) durch P(A), d.h. aus dem Verhält­nis der Fläche „A und B“ zur Fläche „nur A“ gemäss den obigen Grafiken. Es gilt also

P(A  B)

P(B | A) = ────── oder P(A  B) = P(B | A) ∙ P(A)

P(A)

11. Das Bayes-Theorem ergibt sich aus der Überlegung, dass P(A  B) = P(B  A), oder

P(B | A) ∙ P(A) = P(A | B) ∙ P(B)

12. Nach P(B | A) gelöst

P(A  B) ∙ P(B)

P(B | A) = ──────────

P(A)

13. P(A) lässt sich zerlegen in

P(A) = P(B  A) + P(¬ B  A) = P(A | B) ∙ P(B) + P(A | ¬B) ∙ P(¬B)

P(A | B) ∙ P(B) P(A | ¬B) ∙ P(¬B)

14. Daher lautet das Bayes-Theorem in seiner extensiven Form, für zwei sich gegenseitig aus­schliessende Ereignisse A und B

P(B) ∙ P(A | B)

P (B | A) = ────────────────────

P(B) ∙ P(A | B) + P(¬B) ∙ P(A | ¬B)